Это был последний шанс сборной СССР по футболу завоевать звание чемпиона Европы.

После фантастических голов Рууда Гуллита и Марко ван Бастена советские футболисты проигрывали 0:2, но время еще оставалось, и тут — это не так часто случается в финалах чемпионатов Европы! — судья назначил пенальти в ворота голландцев. Бить взялся Игорь Беланов, за два года до этого названный лучшим футболистом Европы.

Беланов забивал пенальти лучшим вратарям мира — Дасаеву и Пфаффу, на его удар было просто невозможно среагировать: мяч летел как ядро. Вот и голландский вратарь Ханс ван Брекелен тоже не среагировал. Он бросился наугад. Пущенный Белановым с невероятной силой мяч попал ему в ногу и отскочил в поле. Сборная СССР упустила свой шанс…

Конечно, это была чистая случайность. После пушечного удара мяч пролетает 11 м за полсекунды, и никакая реакция не может здесь помочь. Полети мяч в другой угол, ван Брекелен оказался бы бессилен, а у сборной СССР появилась бы реальная возможность отыграться. Но оказывается, что прыгать случайно — это и есть лучшая стратегия, а ван Брекелену есть чем гордиться: он поступил оптимально.

СМЕШЕНИЕ — СИЛА

Если спросить экономиста, что произойдет, если участники взаимодействия имеют возможность выбирать стратегию, он ответит: надо посмотреть, что произойдет “в равновесии”. А что такое равновесие? Это такой выбор каждого из участников, что, знай они стратегию оппонента, они не стали бы пересматривать свое решение. А что же делать, если, узнав выбор других, хочется поменять свой?

Представьте себе такую игру: один игрок пишет на бумажке “черное” или “белое”, а второй угадывает. Если угадает, то заработает рубль, а если нет — то проиграет рубль. Правила понятны?

У каждого из игроков по две чистые стратегии: у одного — загадать один из двух цветов, у другого — сказать “черное” или “белое”. Но если стратегия первого будет состоять в том, чтобы загадывать “белое”, то второй, конечно, будет говорить “белое” и выигрывать. А если загадывающий знает, что второй собирается сказать “белое”, то он лучше загадает “черное” и окажется в выигрыше.

Получается, что на каждый выбор загадывающего имеется такой ответ, что загадывающему захочется поменять свой выбор. И наоборот: если бы тот, кто загадывает, знал, какую стратегию применяет второй, — он бы поменял цвет. Так что чистые стратегии в этой игре не дают равновесия, если, конечно, в ней участвуют не отпетые альтруисты.

Зато если загадывающий “смешает” стратегии — подкинет тайком монетку и, если выпадет “решка”, напишет “белое”, а если “орел” — “черное”, то у второго есть такой ответ, что первому все равно будет выгодно придерживаться этой смешанной стратегии. А именно: второй игрок тоже будет подкидывать тайком монетку и называть цвет в зависимости от того, какой стороной она выпала.

Нечто похожее происходит и при исполнении одиннадцатиметрового. У вратаря есть три стратегии: прыгнуть вправо, прыгнуть влево и остаться на месте. У пенальтиста их тоже три: ударить в правый угол, в левый или по центру. Как и в игре с загадыванием цветов, равновесие здесь есть только смешанное. Желательно, чтобы в голове у вратаря имелся компактный генератор случайных чисел — только в этом случае его действия окажутся оптимальными.

А ТАК БЫВАЕТ?

Игра в “черное” и “белое” показывает, что без смешанных стратегий часто не обойтись. Это теоретически. Три американских экономиста — Пьер-Андре Киаппори, Стивен Левитт и Тимоти Гроусклоуз* — решили посмотреть, насколько точно выполняют предписания экономической теории профессиональные футболисты. Выяснилось, что и вратари, и пенальтисты довольно устойчиво следуют оптимальным стратегиям: прыгают и бьют по углам случайным образом.

Как проводилось исследование? Чтобы определить, в какой угол прыгал вратарь и куда бил игрок, исполняющий одиннадцатиметровый, экономисты просмотрели фрагменты матчей французской и итальянской профессиональных лиг за три года. (Помимо статистики в работе Киаппори-Левитта-Гроусклоуза есть и теоретическая модель, похожая на игру в “белое” и “черное”.) За это время было пробито 459 пенальти 162 игроками, в воротах стояли 88 вратарей. 58% пенальтистов пробили не менее чем по 4 раза.

Ни один из них не пробил все пенальти в один угол. К сожалению, даже данных за несколько лет недостаточно. Было бы здорово, будь в нашем распоряжении сведения о парах вратарь-пенальтист, которые встретились на одиннадцатиметровой отметке раз 20 за несколько лет. Увы! Как правило, пенальтист и вратарь сходятся лицом к лицу не чаще чем 2-3 раза за карьеру.

Важнейшее предположение, которое необходимо было сделать авторам, состояло в том, что вратарь и игрок, бьющий пенальти, делают свой выбор — куда прыгать и куда бить — одновременно. Может показаться, что исполнитель пенальти часто ждет, пока вратарь начнет движение в угол, но предположение о том, что решения принимаются независимо, вполне согласуется с данными.

Авторам не удалось обнаружить статистической зависимости между направлениями броска вратаря и удара. Кстати, в точном соответствии с наблюдениями футбольных знатоков выбор игрока не зависит от того, как прыгал вратарь в предыдущих случаях, а вот вратари, по-видимому, знают о приемах бьющих пенальти игроков. (На чемпионате мира 2006 г. вратарь сборной Германии Йенс Леманн между ударами даже подглядывал в шпаргалку со сведениями о том, как били пенальти игроки команды соперников.)

Экономистам пришлось учесть дополнительные тонкости: например, правши, то есть примерно 85% всех игроков, бьют, как правило, в левый от себя угол. При статистических вычислениях это нужно учитывать. Вероятность того, что будет гол, если вратарь выбрал неправильный угол, — от 82 до 95% (результат варьируется в зависимости от того, насколько точно произведено измерение), а если правильный — от 43 до 64%

Дополнительным доказательством того, что футболисты используют именно смешанные стратегии, служит отсутствие зависимости в последовательности ударов одного игрока или направлений прыжков одного вратаря. Заслуга трех экономистов в основном и состояла в очистке исходных данных, чтобы никакие статистические помехи не затмевали тот факт, что профессиональные футболисты действительно смешивают стратегии — прыгают и бьют случайным образом.

Было бы странно ожидать, чтобы профессиональные голкиперы, подавляющее большинство которых не имеет высшего образования, знали, что такое смешанная стратегия. Или чтобы они тайком от телекамер подкидывали монетку, добиваясь случайности броска. Однако вполне может быть, что вратари, играющие в лучших профессиональных лигах, добились своего положения в результате “естественного отбора” — в частности, по врожденной способности смешивать стратегии. Это касается не только футбола: Марк Волкер и Джон Вудерс из Университета

Аризоны** рассмотрели стратегии, применяемые сильнейшими теннисистами мира. Оказывается, они весьма точно отражали то, что предписано теорией, причем взрослые, сложившиеся игроки смешивали гораздо лучше, чем юные.

НЕ СВАЛЯТЬ ДУРАКА

Недавно я слышал, как один лектор в серьезном экономическом вузе бросил ассистенту по курсу теории игр: “Поставьте в экзамен задачи на чистые стратегии. Смешанные — это теоретики выдумали”. Интересно, приходилось ли этому лектору когда-нибудь играть в преферанс, бридж или хотя бы в дурака? Если он не использовал смешанные стратегии, то, наверное, часто проигрывал.

Что такое чистая стратегия в преферансе? Это значит, что в одной и той же ситуации вы всегда поступаете одинаково. Вспоминается — внимание, неправильный! — совет бабушки пирата из песенки Эдуарда Успенского: “И всегда ходи с бубей, если хода нету!” Если вы последуете этому совету, оппонентам будет гораздо легче играть против вас, потому что те же самые ходы будут нести больше информации о картах, которые у вас на руках.

То же самое при игре в дурака: если вы будете придерживаться заранее заданной чистой стратегии (например, у вас на листочке будет описан ваш ход в каждой возможной ситуации), это значительно упростит игру вашим оппонентам.

А вы останетесь в дураках.

http://www.smoney.ru